Zasada zachowania pędu

Pęd danego punku materialnego jest to iloczyn jego masy i prędkości. W przypadku, gdy rozważamy układ wielu punktów materialnych, które poruszają się w różnych kierunkach, ich prędkości rozumiemy jako wektory skierowane wzdłuż chwilowej linii ruchu o zwrocie zgodnym z kierunkiem ruchu i długości równej liczbowej wartości prędkości. Wektor pędu jest więc zgodny co do zwrotu i kierunku z wektorem prędkości, tylko jego długość jest równa liczbowej wartości prędkości pomnożonej przez masę punktu materialnego. Mówiąc, że pęd układu punktów materialnych jest zachowany mamy na myśli fakt, że wektorowa suma pędów wszystkich punktów materialnych układu jest stała w czasie. Wektory dodajemy, oczywiście sumując współrzędne.

Prędkość jednak jest względna. Zatem pęd również jest względny. Zasada zachowania pędu nie zachodzi wobec dowolnego obserwatora układu. Łatwo się o tym przekonać. Wyobraźmy sobie ziemię jako wielką metalową kulę, na której stoimy. Z kosmosu spada na ziemię plastelinowa kula, powiedzmy wielkości dużego arbuza. W momencie uderzenia rozpłaszcza się na jej powierzchni. Co stało się z pędem plastelinowej kuli? Obserwator przed uderzeniem obserwował spory pęd układu, a po uderzeniu wszystko jest statyczne i pęd układu wynosi dla niego zero. Fizyk odpowie być może tak:

Pęd układu został zachowany. Rozpatrzmy to zdarzenie z punktu widzenia jakiegoś niezależnego punktu obserwacyjnego. Spadająca kula przekazała swój pęd ziemi, ale ponieważ ziemia ma bardzo dużą masę, realizuje pęd plastelinowej kuli poruszając się z bardzo małą prędkością. Tego ruchu ziemi obserwator stojący na niej, nie jest oczywiście w stanie wykryć, ponieważ porusza się razem z nią. Pęd został zachowany, ale nie względem obserwatora stojącego na ziemi.

A zatem pęd nie jest zachowywany względem każdego obserwatora.

Skoro nie jest on zachowywany względem każdego obserwatora, powstaje naturalne pytanie, względem których obserwatorów jest on zachowywany. Podsumowuje to następujące twierdzenie, które udowodnimy.

Twierdzenie. W dowolnym układzie punktów materialnych poruszających się po całkiem dowolnych trajektoriach na tyle gładkich, żeby można było mówić o prędkościach chwilowych, pęd układu jest zachowywany względem obserwatora wtedy i tylko wtedy, gdy porusza się on ruchem jednostajnym względem środka masy układu.

Należy podkreślić, że użyte tutaj sformułowanie „dowolna trajektoria” nie oznacza tylko dowolnej trajektorii możliwej w naszej rzeczywistości. Oznacza ono po prostu zupełnie dowolną trajektorię, każdą jakąkolwiek ktoś by sobie zażyczył, byleby pojęcie pędu nie utraciło sensu.

Dowód. Oznaczmy trajektorię każdego punktu materialnego w następujący sposób. Punkty ideksujemy po i.

Trajektorie mają być dowolne, ale odpowiednio „gładkie”, aby w ogóle można było mówić o pędzie. Przyjmijmy więc, że trajektorie będą dowolnymi różniczkowalnymi po czasie funkcjami wektorowymi. Pochodną po czasie będziemy zapisywali za pomocą kropki umieszczonej nad symbolem funkcji. Oczywiście pochodna funkcji wektorowej po czasie, jest również funkcją wektorową, której współrzędne są odpowiednio pochodnymi po czasie współrzędnych funkcji wyjściowej.

Dla ułatwienia rachunków wprowadzimy stałą oznaczającą całkowitą masę wszystkich punktów materialnych układu.

Niech z będzie trajektorią opisującą ruch dowolnego obserwatora poruszającego się stałą prędkością v względem środka masy układu.

Trajektorie „obserwowane” przez takiego obserwatora będą miały następująca postać.

Zatem

Obliczmy pęd układu względem obserwatora z.

Zatem

Wykazaliśmy zatem, że przy dowolnych „odpowiednio” gładkich trajektoriach pęd jest zachowywany względem obserwatora, który porusza się ruchem jednostajnym względem środka masy.

Teraz pokażemy, że pęd może być zachowany tylko względem obserwatorów poruszających się ruchem jednostajnym względem środka masy układu.

Niech z oznacza teraz trajektorię obserwatora względem, którego pęd jest zachowywany. Zatem:

Czyli

Stąd

Formalnie jest to równanie różniczkowe, którego klasa rozwiązań ma następującą postać.

Gdzie c jest dowolnym wektorem.

Jest to jednak właśnie równanie trajektori obserwatora, który porusza się ruchem jednostajnym względem środka masy układu!

Michał Stanisław Wójcik, 10 czerwca 2009